zb0206061 幼苗
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(1)∵函数f(x)=[1/3]x3+[a−3/2]x2+(a2-3a)x-2a
∴函数f′(x)=x2+(a-3)x+(a2-3a)
则f′(x)-a2=x2+(a-3)x-3a=(x+a)(x-3)
若对任意x∈(1,2],f'(x)>a2恒成立,
则对任意x∈(1,2],f′(x)-a2>0恒成立
则a<-2.
(2)令f′(x)=0
则x=3或x=-a
则①x1+x2+a=3为定值;
②x12+x22+a2=2a2+9不为定值;
此时g(a)=2a2+9,当a=0时有最小值9;
③x13+x23+a3=27为定值;
(3)∵g(a)=2a2+9,
∴H(x)=[1/9][g(x)-27]=[1/9](2x2-18),
令F(x)=H(x)-ex=[1/9](2x2-18)-ex,
则F′(x)=[4/9]x-ex,
当x∈(0,1)时,F′(x)<0恒成立
即F(x)在区间(0,1)上为减函数
当m,n∈(0,1)且m≠n时,不妨令m>n
则F(m)-F(n)=[H(m)-em]-[H(n)-en]<0
即[H(m)-em]<[H(n)-en]
即H(m)-H(m)<em-en,
即|H(m)-H(n)|<|em-en|
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数恒成立问题;导数的运算.
考点点评: 本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值,函数恒成立问题,导数的运算,其中(1)的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质,(2)的关键是求出f(x)的两个极值点分别为x1x2,(3)的关键是构造函数F(x)=H(x)-ex,并利用导数法判断出F(x)在区间(0,1)上的单调性.
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