设函数f （x）=x3+ax2-（2a+3）x+a2，a∈R．

解题思路：（I）求出f（x）的导数，根据x=1是f （x）的极大值点，令导函数等于0的另一个根大于极大值点x=1，列出不等式，求出实数a的取值范围．
（II）求出f（x）的导函数，令导函数为0，求出两个根，据已知条件，两个根不等，根据a的范围，求出f（x）的极大值，求出g（x）的导数，求出g（x）的极大值，根据已知列出方程，求出极小值，得证．

（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（x-1）（3x+2a+3）．
由于x=1是f （x）的极大值点，
故−
2a+3
3＞1，
即a＜-3
（Ⅱ） f′（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（x-1）（3x+2a+3）．
g′（x）=[1/x]+2bx-（2b+1）=
(x−1)(2bx−1)
x．
由于函数f （x）有极大值，故−
2a+3
3≠1，即a≠-3．
当 a＞-3时，即−
2a+3
3＜1，则f （x）的极大值点x＝−
2a+3
3，
所以，g（x）的极大值点x＝
1
2b，极小值点为x=1．
所以，

−
2a+3
3＝
1
2b
0＜
1
2b＜1⇔

−
2a+3
3＝
1
2b
b＞
1
2，
此时，g（x）的极小值g（1）=b-（2b+1）=-1-b＜-[3/2]＜-1．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 利用导数求函数的极值时，令导数等于0，然后判断根左右两边的导函数符号，导函数符号先正后负，根为极大值；导函数符号先负后正，根为极小值．