已知f（x）=a-22x+1（a∈R）

（1）证明：函数f（x）的定义域为R，对任意x₁，x₂∈R，设x₁＜x₂，
则f(x1)−f(x2)＝a−
2
2x1+1−a+
2
2x2+1=
2•2x1+2−2•2x2−2
(2x1+1)(2x2+1)
=
2(2x1−2x2)
(2x1+1)(2x2+1)．
∵y=2^x是R上的增函数，且x₁＜x₂，
∴2x1−2x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）为R上的增函数；
（2）若函数f（x）为奇函数，
则f（0）=a-1=0，
∴a=1．
当a=1时，f（x）=1-
2
2x+1．
∴f（-x）=
2−x−1
2−x+1＝
1−2x
1+2x＝−
2x−1
2x+1=-f（x），
此时f（x）为奇函数，满足题意，
∴a=1．

点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查了函数奇偶性的判断，考查了利用定义证明函数的单调性，是中档题．