如图,抛物线y=ax^2+bx+3与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,此抛物线顶点为P,与直线B

（1）将A（-3,0）,B（-1,0）代入抛物线y=ax^2+bx+3得：
9a-3b+3=0
a-b+3=0
解得a=1,b=4,
∴抛物线的解析式为：y=x^2+4x+3．
（2）由（1）知,抛物线解析式为：y=x^2+4x+3,
∵令x=0,得y=3,
∴C（0,3）,
∴OC=OA=3,则△AOC为等腰直角三角形,
∴∠CAB=45°,
∴cos∠CAB=√2/2．
在Rt△BOC中,由勾股定理得：BC=√(1^2+3^2)=√10．
如答图1所示,连接O1B、O1C,
由圆周角定理得：∠BO1C=2∠BAC=90°,
∴△BO1C为等腰直角三角形,
∴⊙O1的半径O1B=√2/2BC=√5．
（3）抛物线y=x^2+4x+3=（x+2）^2-1,
∴顶点P坐标为（-2,-1）,对称轴为x=-2．
又∵A（-3,0）,B（-1,0）,可知点A、B关于对称轴x=-2对称．
如答图2所示,由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0,3）关于对称轴对称,
∴D（-4,3）．
又∵点M为BD中点,B（-1,0）,
∴M（-5/2,3/2）,
∴BM=√{[-5/2-(-1)]^2+(3/2)^2}=3√2/2；
在△BPC中,B（-1,0）,P（-2,-1）,C（0,3）,
由两点间的距离公式得：BP=√2,BC=√10,PC=2√5．
∵△BMN∽△BPC
∴BM∶BP=BN∶BC=MN∶PC
即(3√2/2)/√2=BN/√10=MN/2√5,
解得：BN=3√10/2,MN=3√5．
设N（x,y）,由两点间的距离公式可得：
(x+1)^2+y^2=(3√10/2)^2
(x+5/2)^2+(y-3/2)^2=(3√5)^2,
解得：x1=7/2;y1=-3/2或x2=1/2;y2=-9/2,
∴点N的坐标为（7/2,-3/2）或（1/2,-9/2）．
正好我也在找这道题目,顺手给你弄过来了,时间有点久了,不知道你还需不需要~

图呢？

纯粹在瞎搞，题目都不完整吧