如图,三棱锥P-ABC中,PB⊥底面ABC,∠BCA=90°,PB=BC=CA=2,E为PC的中点,M为AB的中点,点F
如图,三棱锥P-ABC中,PB⊥底面ABC,∠BCA=90°,PB=BC=CA=2,E为PC的中点,M为AB的中点,点F在PA上,且2PF=FA．
1、求证BE⊥面PAC
2、求证CM∥面BEF
3、求平面ABC与面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值
4、求直线AF与面BEF所成角的正弦值
1、求证BE⊥面PAC
2、求证CM∥面BEF
3、求平面ABC与面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值
4、求直线AF与面BEF所成角的正弦值
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PB⊥底面ABC,
∴平面PBC⊥平面ABC于BC,
∠BCA=90°,
∴AC⊥平面PBC,
∴平面PAC⊥平面PBC于PC,
PB=BC,E为PC的中点,
∴BE⊥AC,
∴BE⊥平面PAC.
2.BC=CA,M为AB的中点,
∴CM⊥AB,
连PM交BF于G,连EG.
易知AB=2√2,BM=√2,PM=√6,PA=2√3,PF=2√3/3,tanAPB=AB/BC=√2,cosAPB=1/√3,
由余弦定理,BF^2=4/3+4-8/3=8/3,BF=2√6/3,cosPBF=(4+8/3-8√2/3)/(8√6/3)=?
tanBPM=√2/2,cosBPM=√6/3,
sinBPM=1/√3,sinBGP=sin(∠PBF+∠BPM)=待续
由正弦定理,PG=PBsinPBF/sinBGP=(2/3)/(√6/3)=√6/3=
∴平面PBC⊥平面ABC于BC,
∠BCA=90°,
∴AC⊥平面PBC,
∴平面PAC⊥平面PBC于PC,
PB=BC,E为PC的中点,
∴BE⊥AC,
∴BE⊥平面PAC.
2.BC=CA,M为AB的中点,
∴CM⊥AB,
连PM交BF于G,连EG.
易知AB=2√2,BM=√2,PM=√6,PA=2√3,PF=2√3/3,tanAPB=AB/BC=√2,cosAPB=1/√3,
由余弦定理,BF^2=4/3+4-8/3=8/3,BF=2√6/3,cosPBF=(4+8/3-8√2/3)/(8√6/3)=?
tanBPM=√2/2,cosBPM=√6/3,
sinBPM=1/√3,sinBGP=sin(∠PBF+∠BPM)=待续
由正弦定理,PG=PBsinPBF/sinBGP=(2/3)/(√6/3)=√6/3=
1年前 追问
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1.BC,BPΪx,zὨռֱϵ B(000),C(200),P(002),A(220),E(10,1),M(110).PB=BC,EΪPCе,BEPC,BE*AC=(101)*(0-20)=0BEAC,BEƽPAC. 2.FPAϣ2PF=FA,BF=(2/3)BP+(1/3)BA=(2/3)(002)+(1/3)(220)=(2/32/34/3).ƽBEFķΪn1=(x,y,1),n1*BF=0x+y+2=0,n1*BE=0x+1=0,x=y=-1,n1=(-1,-1,1),CM=(-110),CM*n1=0CMƽBEFڣCMƽBEF. 3.ƽABCķn2=(0,0,1),ƽABCBEFɵĶǵƽǣǣֵ=|cos|=1/3=3/3.4AF=BF-BA=(2/32/34/3)-(220)=(-4/3-4/34/3),ֱAFBEFɽǵֵ=cos=(4/3)/4=1/3.
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