已知过点M(2,1)的直线L交椭圆x^2/16+y^2/4=1于A,B两点,且M是AB的三等分点,求L的方程?
已知过点M(2,1)的直线L交椭圆x^2/16+y^2/4=1于A,B两点,且M是AB的三等分点,求L的方程?
直线参数方程求解
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M是AB的三等分点,
设A(2+h,1+k),B(2-2h,1-2k),A,B在椭圆x^2/16+y^2/4=1上,
∴(2+h)^/16+(1+k)^/4=1,①
（2-2h)^/16+(1-2k)^/4=1,②
①*4-②,（3+6h)/4+(3+12k)/4=3,h=1-2k,③
把③代入①*16,（3-2k)^+4(1+k)^=16,
8k^-4k-3=0,k=(1土√7)/4,
代入③,h=(1干√7）/2,
∴k/h=(-1/6)(4土√7）,
∴L的方程是y-1=(-1/6)(4土√7)(x-2),
即（4+√7）x+6y-(14+2√7）=0,或（4-√7）x+6y-(14-2√7）=0.
设A(2+h,1+k),B(2-2h,1-2k),A,B在椭圆x^2/16+y^2/4=1上,
∴(2+h)^/16+(1+k)^/4=1,①
（2-2h)^/16+(1-2k)^/4=1,②
①*4-②,（3+6h)/4+(3+12k)/4=3,h=1-2k,③
把③代入①*16,（3-2k)^+4(1+k)^=16,
8k^-4k-3=0,k=(1土√7)/4,
代入③,h=(1干√7）/2,
∴k/h=(-1/6)(4土√7）,
∴L的方程是y-1=(-1/6)(4土√7)(x-2),
即（4+√7）x+6y-(14+2√7）=0,或（4-√7）x+6y-(14-2√7）=0.
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