已知圆C：x^2+y^2-2x-2y+1=0相切的直线L交X轴,Y轴与A,B两点,O为原点,且|OA|=a,|OB|=b

(1)直线l:bx+ay=ab,圆心(1,1),半径r=1
则|a+b-ab|/√(a^2+b^2)=1
平方得a^2*b^2+2ab-2ab(a+b)=0
又ab≠0,则ab+2-2a-2b=0
即(a-2)(b-2)=2
AB中点坐标为（a/2,b/2）,由(1)、的（a-2）（b-2）=2两边除以4得
（a/2-1）*（b/2-1）=1/2.
所以AB中点轨迹方程为（x-1）（y-1）=1/2.其中x>0,y>0.
是双曲线一支.
△AOB的面积是ab/2.由（a-2）（b-2）=2得a*b/2=a+b+1.
△AOB的面积ab/2要最小,也就是a+b+1最小.
由（a-2）（b-2）=2知
当a-2=b-2时,即当a=b,（a-2）+（b-2）=a+b-4才最小,
即此时,△AOB的面积a*b/2才最小.
把a=b代入（a-2）（b-2）=2中,
得a=b=2+√2 代入a*b/2=a+b+1中,
得△AOB的面积a*b/2最小时是S=5+2√2