双曲线16x2-9y2=144的左、右两焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|=64，求△PF1

解题思路：双曲线化成标准方程得

x2

9

−

y2

16

＝1，从而算出F₁（-5，0），F₂（5，0）．再设|PF₁|=m，|PF₂|=n，由双曲线的定义和余弦定理，结合题意建立关于m、n的方程组，解出∠F1PF2＝600，最后利用正弦定理的面积公式即可求出△PF₁F₂的面积．

双曲线方程16x²-9y²=144化简为
x2
9−
y2
16＝1
即a²=9，b²=16
∴c²=25，解得a=3，c=5，可得F₁（-5，0），F₂（5，0）…（3分）
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由双曲线的定义知|m-n|=2a=6，又已知m•n=64，…（5分）
在△PF₁F₂中，由余弦定理知
cos∠F1PF2＝
|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|2
2|PF1|•|PF2|=
m2+n2−(2c)2
2m•n
=
(m−n)2+2m•n−4c2
2m•n＝
36+2×64−4×25
2×64＝
1
2
∴∠F1PF2＝600
因此，△PF₁F₂的面积为
S△F1PF2＝
1
2|PF1|•|PF2|•sin∠F1PF2＝
1
2m•n•sin600＝16
3…（12分）

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题给出双曲线的焦点三角形中，在已知两条焦半径的积的情况下求三角形的面积．着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、正余弦定理和三角形面积公式等知识，属于中档题．