设a小于等于2,函数fx=(x2+ax+a)e^x(x属于R),(1)当a=1时,求fx的单调区间；
设a小于等于2,函数fx=(x2+ax+a)e^x(x属于R),(1)当a=1时,求fx的单调区间；
（2）是否存在实数a,使fx的极大值为3,若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由
（2）是否存在实数a,使fx的极大值为3,若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由
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(1).a=1
f(x)=(x²+x+1)e^x
f'(x)=(2x+1)e^x+(x²+x+1)e^x=(x+1)(x+2)e^x
令 f'(x)=0,解得 x=-1,-2
当 x<-2 时,f'(x)>0
当 -2
f(x) 的单调递增区间是 (-∞,-2)∪(-1,+∞)
f(x) 的单调递减区间是 (-2,-1)
(2).a<=2
f(x)=(x²+ax+a)e^x
f'(x)=(2x+a)e^x+(x²+ax+a)e^x=(x+a)(x+2)e^x
令 f'(x)=0,解得 x=-a,-2
如果 a=2,则 f'(x)=(x+2)²e^x>0,f(x) 在整个实数范围内单调递增,不存在极大值和极小值
如果 a<2：
当 x<-2,f'(x)>0
当 -2
f(x) 的单调递增区间是 (-∞,-2)∪(-a,+∞)
f(x) 的单调递减区间是 (-2,-a)
函数 f(x) 在 x=-2 处取得极大值 f(-2)=(4-2a+a)*e^(-2)=(4-a)/e²
要使该极大值 (4-a)/e²=3,则 a = 4-3e² ≈ -18.16716829
此时 f(x) 图像如下
f(x)=(x²+x+1)e^x
f'(x)=(2x+1)e^x+(x²+x+1)e^x=(x+1)(x+2)e^x
令 f'(x)=0,解得 x=-1,-2
当 x<-2 时,f'(x)>0
当 -2
f(x) 的单调递增区间是 (-∞,-2)∪(-1,+∞)
f(x) 的单调递减区间是 (-2,-1)
(2).a<=2
f(x)=(x²+ax+a)e^x
f'(x)=(2x+a)e^x+(x²+ax+a)e^x=(x+a)(x+2)e^x
令 f'(x)=0,解得 x=-a,-2
如果 a=2,则 f'(x)=(x+2)²e^x>0,f(x) 在整个实数范围内单调递增,不存在极大值和极小值
如果 a<2：
当 x<-2,f'(x)>0
当 -2
f(x) 的单调递增区间是 (-∞,-2)∪(-a,+∞)
f(x) 的单调递减区间是 (-2,-a)
函数 f(x) 在 x=-2 处取得极大值 f(-2)=(4-2a+a)*e^(-2)=(4-a)/e²
要使该极大值 (4-a)/e²=3,则 a = 4-3e² ≈ -18.16716829
此时 f(x) 图像如下
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