已知函数f（x）=ax3+（a-1）x2+48（a-2）x+b的图象关于原点成中心对称，试判断f（x）在区间[-4，4]

解题思路：根据题意，由奇函数的定义，可得f（x）是奇函数，由奇函数的性质，可得a（-x）³+（a-1）（-x）²+48（a-2）（-x）x+b=-[ax³+（a-1）x²+48（a-2）x+b]恒成立，分析可得a、b的值，即可得f（x）的解析式，对f（x）求导，分析其导数在（-4，4）上的符号，结合函数单调性与导数的关系，即可得答案．

f（x）在[-4，4]上是单调递减函数．
证明如下：函数f（x）的图象关于原点成中心对称，
则f（x）是奇函数，即f（-x）=-f（x）对于任意x的成立，
则有a（-x）³+（a-1）（-x）²+48（a-2）（-x）x+b=-[ax³+（a-1）x²+48（a-2）x+b]
必有a-1=0，b=0，
即a=1，b=0，
于是f（x）=x³-48x．
∴f′

x＝3x2−48，
∴当x∈(−4，4)∴f′

x＜0，
所以f（x）在[-4，4]上是单调递减函数．

点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查函数奇偶性的性质与单调性的判断，注意结合函数奇偶性的性质，分析求出a、b的值．

函数的图象关于原点成中心对称
所以f(-x)=-f(x），f(0)=0的b=0且原式为2(a-1)x^2=0,得a=1
所以原式为f(x)=x^3-48x对其求导后f'(x)=3x^2-48可得f(x)在[-4,4]为减函数。

因为f(x)是奇函数，所以
f(0)=0
b=0
f(x)=ax³+(a-1)x²+48(a-2)x
f(-x)= - ax³+(a-1)x² -48(a-2)
f(x)+f(-x)=0
(a-1)x²=0
a=1
f(x)=x³-48x
对任意的
-4≤x1...