已知函数f（x）=ax3+x2+bx（其中常数a，b∈R）

解题思路：（Ⅰ）当a=1，b=1时，表示出f（x），求得f′（x），可判断f′（x）的符号，由此可求单调区间；
（Ⅱ）求出f′（x），由奇函数定义可得g（-x）=-g（x）恒成立，由此可求得a，b，从而可得g（x），解不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0可得函数g（x）的增区间、减区间，求出极值、区间端点处的函数值，然后进行大小比较，其中最大者为最大值，最小者为最小值；

（Ⅰ）当a=1，b=1时，f（x）=x³+x²+x，
∵f′（x）=3x²+2x+1=3(x+
1
3)2+
2
3＞0，
∴f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；
（Ⅱ）由题意得f′（x）=3ax²+2x+b，
∴g（x）=f（x）+f′（x）=ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b，
∵函数g（x）是奇函数，
∴g（-x）=-g（x），即对任意实数x，有a（-x）³+（3a+1）（-x）²+（b+2）（-x）+b=-[ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b]，
从而3a+1=0，b=0，解得a=-[1/3]，b=0，
∴g（x）=-[1/3x3+2x，∴g′（x）=-x²+2，
令g′（x）=0，解得x1＝−
2]，x2＝
2，
则当x＜-
2或x＞
2时，g′（x）＜0，
从而g（x）在区间（-∞，-
2]，[
2，+∞）上是减函数，
当-

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查奇函数的性质及其应用，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，属中档题．