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a2+5a−2 |
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kaixuan770 春芽
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F′(x)=-x3+3ax2+(a2+5a-2)x
(Ⅰ)当a=1时,F′(x)=-x3+3x2+4x=-x(x-4)(x+1)
令F′(x)>0解得x<-1或0<x<4,令F′(x)<0解得-1<x<0或x>4
故函数在区间(-∞,-1)与(0,4)上是增函数,在(-1,0)与(4,+∞)上是减函数
故函数在x=-1时与x=4时取到极大值,在x=0时取到极小值,
故F(-1)=[3/4+b,F(4)=32+b,F(0)=b
∵F(x)=0有两个不相等的实根,∴b>0或者
3
4<b<32
(II)由(Ⅰ)知F(0)=b,由F′(x)=-x3+3ax2+(a2+5a-2)x,故x=0为其一个极值点,若欲使得另两个极值点中的一个的极值也是b,则x=0必为其一个极大值点,且另外一个极值点处的函数值也为b,由F′(x)=-x3+3ax2+(a2+5a-2)x=-x[x2-3ax-(a2+5a-2)]=0,x1,x2.必同号,即a2+5a-2<0 ①
令F(x)=F(0)=b,则(−
1
4x2+ax +
a2+5a−2
2)x2=0必有两根,且其一根为0故−
1
4x2+ax +
a2+5a−2
2]=0仅有一根
故△=a2+
a2+5a−2
2=0,即3a2+5a-2=0解得a=-2或a=[1/3] 代入①验证知,a=-2或a=[1/3] 符合题意
故当a=-2或a=[1/3] 时,能使函数F(x)在x1(或者x2)处取得的极值为b
(III)∵F′(x)=-x3+3ax2+(a2+5a-2)x=-x[x2-3ax-(a2+5a-2)],显然x=0是其一根
令F′(x)=0的另两根为x1,x2,且x1≤x2,
∴x1+x2=3a,x1x2=-(a2+5a-2)
∵a∈[-1,0],
∴x1+x2=3a<0,x1x2=-(a2+5a-2)>0
∴x1≤x2<0
∵不等式F(x)≥-8在[-2,2]上恒成立,接合上证知
函数F(x)=−
1
4x4+ax3+
a2+5a−2
2x2+b在[-2,2]上的最小值为F(2)=-4+8a+2a2+10a-4+b
代入不等式F(x)≥-8得8a+2a2+10a+b≥0,即b≥-2a2-18a,
由于a∈[-1,0],
∴-2a2-18a≤16
故b≥16
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评: 本题考点是研究函数的极值,是函数单调性的综合应用题,利用导数研究函数的单调性,再由函数的图象变化规律确定函数的极值与最值,利用函数的图象特征将题设的条件等价转化,本题综合性较强,难度很大,解题时要注意题设条件的转化方向,此是正确解答本题的关键.
1年前
(2010•湖北模拟)已知二元函数f(x,y)满足下列关系:
1年前1个回答
(2010•广东模拟)已知函数f(x)=14x+2(x∈R).
1年前1个回答
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