（2010•广东模拟）已知函数f(x)＝14x+2(x∈R)．

解题思路：（Ⅰ）由函数表达式证明f(x)+f(1−x)＝

1

2

，只需要把函数表达式代入然后化解即可．
（Ⅱ）由1中证明的结果f(x)+f(1−x)＝

1

2

代入通项公式推得ak+am−k＝

1

2

，然后根据前n项和与通项的关系求得数列{a_n}的前m项和S_m．
（Ⅲ）由数列b_n满足的条件求得Tn＝(

1

b1

−

1

b2

)+(

1

b2

−

1

b3

)++(

1

bn

−

1

bn+1

)＝

1

b1

−

1

bn+1

＝3−

1

bn+1

再用（Ⅱ）中的S_m满足S_m＜T_n恒成立，直接代入求解．

（Ⅰ）证明：∵f(x)＝
1
4x+2，
∴f(1−x)＝
1
41−x+2＝
4x
4+2•4x＝
4x
2(4x+2)，
∴f(x)+f(1−x)＝
1
4x+2+
4x
2(4x+2)＝
2+4x
2(4x+2)＝
1
2．
故答案为[1/2]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)+f(1−x)＝
1
2，
∴f(
k
m)+f(1−
k
m)＝
1
2(1≤k≤m−1)，
即f(
k
m)+f(
m−k
m)＝
1
2．
∴ak+am−k＝
1
2，
am＝f(
m
m)＝f(1)＝
1
6，
又S_m=a₁+a₂++a_m-1+a_m①S_m=a_m-1+a_m-2++a₁+a_m②
①+②得2Sm＝(m−1)×
1
2+2am＝
m
2−
1
6，
∴答案为Sm＝
1
12(3m−1)；
（Ⅲ）∵b1＝
1
3，bn+1＝
b2n+bn＝bn(bn+1)③
∴对任意n∈N^*，b_n＞0④

点评：
本题考点： 数列的求和；函数恒成立问题；数列递推式．

考点点评： 此题主要考查数列求和和数列恒成立的问题，属于综合性题目难度较大，计算量要求较高，需要仔细分析．