（2014•呼和浩特二模）已知：抛物线y2=4x，直线l过定点Q（2，0）．

（2014•呼和浩特二模）已知：抛物线y²=4x，直线l过定点Q（2，0）．
（Ⅰ）已知直线l与x轴不垂直且与抛物线交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（m，0），使得直线AE与直线BE的倾斜角互补，求E点的坐标；
（Ⅱ）已知直线l与x轴垂直，抛物线的一条切线与y轴和直线l分别交于M、N两点，自点M引以QN为直径的圆的切线，切点为T，证明：|MT|为定值，并求出该定值．

lee4x4 1年前已收到1个回答举报

瓜哥ksk 幼苗

共回答了16个问题采纳率：93.8% 举报

解题思路：（Ⅰ）设直线方程为y=k（x-2），代入y²=4x，得y²-[4/k−y−8＝0，由直线AE与直线BE的倾斜角互补，得-2（y₁+y₂）-m（y₁+y₂）=0，由此能求出E（-2，0）．
（2）设切点P（x₀，y₀）由对称性不妨设y₀＞0，切线方程为：y−y0＝

(x−x0)，且y₀=2

x0]，切线与y轴的交点为M（0，

），又切线与直线l交点N（2，

），由此能证明|MT|=

为定值．

（Ⅰ）∵l与x轴不垂直，设直线方程为y=k（x-2），
代入y²=4x，得y2＝(
y
k+2)×4，即y²-[4/k−y−8＝0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2＝
4
k]，y₁y₂=-8，
∵直线AE与直线BE的倾斜角互补，
k_AE+k_BE=0，
∴
y1
x1−m+
y2
x2−m＝0，
∴y₁x₂+y₂x₁-m（y₁+y₂）=0，
即y1•
y22
4+y2•
y12
4−m(y1+y2)＝0，
整理，得-2（y₁+y₂）-m（y₁+y₂）=0，
∴（m+2）•
4
k=0，∴m=-2，
即E（-2，0）．
（Ⅱ）证明：设切点P（x₀，y₀）由对称性不妨设y₀＞0，
则抛物线切线的斜率k=（2
x）′| x＝x0=
1

x0，
∴切线方程为：y−y0＝
1

x0(x−x0)，且y₀=2

点评：
本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．

考点点评：本题考查点E的坐标的求法，考查线段长为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．

1年前

可能相似的问题

你能帮帮他们吗

精彩回答