（2014•吉林模拟）已知x=1是f(x)＝2x+bx+lnx的一个极值点

（Ⅰ）∵x=1是f(x)＝2x+
b
x+lnx的一个极值点，
f′（x）=2-[b
x2+
1/x]，
∴f′（1）=0，即2-b+1=0，
∴b=3，经检验，适合题意，
∴b=3．
（II）由f′（x）=2-[3
x2+
1/x]＜0，
得
2x2+x−3
x2＜0，∴-[3/2＜x＜1，
又∵x＞0（定义域），
∴函数的单调减区间为（0，1]．
（III）g（x）=f（x）-
3
x]=2x+lnx，
设过点（2，5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x₀，y₀），
∴
y0−5
x0−2＝g′(x0)，
即2x₀+lnx₀-5=（2+[1
x0）（x₀-2），
∴lnx₀+
2
x0-5=（2+
1
x0）（x₀-2），
∴lnx₀+
2
x0-2=0，
令h（x）=lnx+
2/x−2，
h′(x)＝
1
x−
2
x2＝0，∴x=2．
∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∵h（
1
2]）=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h（e²）=[2
e2＞0，
∴h（x）与x轴有两个交点，
∴过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切．

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查实数值的求法、求函数的减区间、判断过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．

1年前

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