（2014•郑州模拟）已知函数f（x）=ln2（1+x）+2ln（1+x）-2x．

（I）f′(x)＝
2[ln(1+x)−x]
1+x（1分）
设g（x）=ln（1+x）-x，x∈[0，1）
g′(x)＝
1
1+x−1≤0
函数g（x）在x∈（0，1）上单调递减，∴g（x）＜g（0）=0，
∴f'（x）＜0在x∈（0，1）上恒成立，
∴函数f（x）在x∈（0，1）上单调递减．（4分）
（II）不等式(1+
1
n)2n+a≤e2等价于不等式(n+
a
2)ln(1+
1
n)≤1
由1+
1
n＞1知，[a/2≤
1
ln(1+
1
n)−n，（5分）
设G(x)＝
1
ln(x+1)−
1
x，x∈(0，1]，（6分）
G′(x)＝−
1
(1+x)ln2(1+x)+
1
x2＝
(1+x)ln2(1+x)−x2
x2(1+x)ln2(1+x)]（7分）
设h（x）=（1+x）ln²（1+x）-x²（x∈[0，1]）（8分）
h'（x）=ln²（1+x）+2ln（1+x）-2x，
由（I）知x∈（0，1）时，h'（x）＜h'（0）=0
∴函数h（x）在x∈（0，1）上单调递减，
h（x）＜h（0）=0
∴G'（x）＜0，∴函数G（x）在x∈（0，1]上单调递减．
∴G(x)≥G(1)＝
1
ln2−1（11分）
故函数G（x）在（{0，1}]上的最小值为G（1）=
1
ln2−1．
即
a
2≤
1
ln2−1，
∴a的最大值为
2
ln2−2．（12分）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要通过函数的单调性及恒成立问题来考查用导数法求函数的最值问题．