已知F1 F2为椭圆的左右两焦点,B为椭圆上的顶点,丨F1 F2丨=2,向量BF1点乘向量BF2=0,若直线L与椭圆交于
已知F1 F2为椭圆的左右两焦点,B为椭圆上的顶点,丨F1 F2丨=2,向量BF1点乘向量BF2=0,若直线L与椭圆交于
PQ两点,则是否存在L使F2为△PQB的垂心?
PQ两点,则是否存在L使F2为△PQB的垂心?
赞 junange 幼苗
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计算过程比较复杂,所以基本方程化简都用“解得”,有疑问的话欢迎追问~
假设F1、F2在x轴上,O为中点,那么由向量BF1*向量BF2=0可算出a=√2、b=1、c=1,轨迹方程为x^2/2+y^2=1
由于F2是垂心,那么BF2垂直于PQ,因此可算得直线L的斜率为1
设直线L：y=x+k,P(x1,y1),Q(x2,y2)
那么y1=x1+k,y2=x2+k
所以向量BP=(x1,y1-1),向量F2Q=(x2-1,y2)
因为F2是垂心,那么BP垂直于F2Q
那么向量BP*向量F2Q=x1x2-x1+y1y2-y2=0
代入y1=x1+k,y2=x2+k化简得：2x1x2+(k-1)(x1+x2)+k(k-1)=0……1式
联立椭圆和直线L的方程,消掉y得：3x^2+4kx+2(k^2-1)=0
根据韦达定理：x1+x2=-4k/3,x1x2=2(k^2-1)/3
代入1式,化简得：3k^2+k-4=0
解得：k=-4/3或k=1
但当k=1的时候,直线L经过B点,BPQ不是三角形,因此k不能为1
所以,综上所述,直线L存在,它的方程为y=x-4/3
假设F1、F2在x轴上,O为中点,那么由向量BF1*向量BF2=0可算出a=√2、b=1、c=1,轨迹方程为x^2/2+y^2=1
由于F2是垂心,那么BF2垂直于PQ,因此可算得直线L的斜率为1
设直线L：y=x+k,P(x1,y1),Q(x2,y2)
那么y1=x1+k,y2=x2+k
所以向量BP=(x1,y1-1),向量F2Q=(x2-1,y2)
因为F2是垂心,那么BP垂直于F2Q
那么向量BP*向量F2Q=x1x2-x1+y1y2-y2=0
代入y1=x1+k,y2=x2+k化简得：2x1x2+(k-1)(x1+x2)+k(k-1)=0……1式
联立椭圆和直线L的方程,消掉y得：3x^2+4kx+2(k^2-1)=0
根据韦达定理：x1+x2=-4k/3,x1x2=2(k^2-1)/3
代入1式,化简得：3k^2+k-4=0
解得：k=-4/3或k=1
但当k=1的时候,直线L经过B点,BPQ不是三角形,因此k不能为1
所以,综上所述,直线L存在,它的方程为y=x-4/3
1年前
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