（2013•湛江二模）已知抛物线C：y2=4x，F是抛物线的焦点，设A（x1，y1），B（x2，y2）是C上异于

（2013•湛江二模）已知抛物线C：y²=4x，F是抛物线的焦点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是C上异于原点O的两个不重合点，OA丄OB，且AB与x轴交于点T
（1）求x₁x₂的值；
（2）求T的坐标；
（3）当点A在C上运动时，动点R满足：

＝

，求点R的轨迹方程．

雨天痴想 1年前已收到1个回答举报

爱情良民幼苗

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解题思路：（1）利用数量积公式，结合A，B在抛物线上，即可求x₁x₂的值；
（2）分类讨论，确定OA的方程与抛物线联立，即可求T的坐标；
（3）利用动点R满足：

＝

，确定坐标之间的关系，利用点差法，结合AB的中点M（[x+1/2，

2]），点T（4，0）都在直线AB上，即可求点R的轨迹方程．

（1）由OA丄OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0
∵y12＝4x1，y22＝4x2，∴16x1x2＝(y1y2)2
代入上式得16y1y2+(y1y2)2=0
∵y₁y₂≠0，∴y₁y₂=-16，∴x₁x₂=16；
（2）设T（t，0），当x₁≠x₂时，A，B，T三点共线，∴
y1
x1−t=
y2
x2−t
∴（y₂-y₁）t=y₂x₁-y₁x₂=-4（y₁-y₂）
∵y₁≠y₂，∴t=4
当x₁=x₂时，∵OA⊥OB，此时△AOB为等腰直角三角形，x₁=x₂=t，直线OA的方程式为y=x
与抛物线联立，解得t=x₁=4
∴T的坐标是（4，0）；
（3）设R（x，y），由F（1，0），

FA+

FB＝

FR，得（x₁-1，y₁）+（x₂-1，y₂）=（x-1，y）
即

x1+x2＝x+1

点评：
本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．

考点点评：本题考查轨迹方程，考查点差法的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

1年前

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