（2010•天津模拟）设椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与A
（2010•天津模拟）设椭圆C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| F1F2 |
| F2Q |
| 0 |
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线l：x−
| 3 |
（3）在（2）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．
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解题思路：（1）设Q（x0，0），由F2（c，0），A（0，b）结合向量条件及向量运算得出关于a，c的等式，从而求得椭圆的离心率即可；
（2）由（1）知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；
（3）由（Ⅱ）知直线l：y=k（x-1），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得满足题意的点P且m的取值范围．
（2）由（1）知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；
（3）由（Ⅱ）知直线l：y=k（x-1），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得满足题意的点P且m的取值范围．
（1）设Q（x0，0），由F2（c，0），A（0，b）
知
F2A＝(−c，b)，
AQ＝(x0，−b)
∵
F2A⊥
AQ，∴−cx0−b2＝0，x0＝−
b2
c，
由于2
F1F2+
F2Q＝
0即F1为F2Q中点．
故−
b2
c+c＝−2c∴b2=3c2=a2-c2，
故椭圆的离心率e＝
1
2，（3分）
（2）由（1）知
c
a
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．
考点点评： 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．
1年前
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