（2010•厦门模拟）已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，A为上顶点，AF1交
（2010•厦门模拟）已知椭圆E：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）求过D（1，0）作椭圆E的两条互相垂直的弦，M、N分别为两弦的中点，求证：直线MN经过定点，并求出定点的坐标．
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解题思路：（I）AB+AF2+BF2=（AF1+AF2）+（BF1+BF2）=4a=8⇒a=2，再由点F2到直线AB的距离d＝
＝
＝bc＝2，可以求出椭圆E的标准方程：
+
＝1．
（II）由题设条件可知M(
，
)，同理N(
，
)，由此可推导出直线MN过定点(
，0)
| |bc+bc| | ||
|
| 2bc |
| a |
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 2 |
（II）由题设条件可知M(
| 2 |
| m2+2 |
| −m |
| m2+2 |
| 2m2 |
| 2m2+1 |
| m |
| 2m2+1 |
| 2 |
| 3 |
（I）AB+AF2+BF2=（AF1+AF2）+（BF1+BF2）=4a=8，∴a=2
设c＝
a2−b2，因为A（0，b），
∴直线AB的方程为[x/−c+
y
b＝1，即bx−cy+bc＝0，
∴点F2到直线AB的距离d＝
|bc+bc|
b2+c2＝
2bc
a＝bc＝2，b＝
2，c＝
2]，
∴椭圆E的标准方程：
x2
4+
y2
2＝1．
（II）设以M为中点的弦与椭圆交于（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2＝(my1−1)+(my2+1)＝m(y1+y2)+2＝
−2m2
m2+2+2＝
4
m2+2
∴M(
2
m2+2，
−m
m2+2)，同理N(
2m
点评：
本题考点： 椭圆的应用；椭圆的标准方程．
考点点评： 本题主要考查直线、椭圆的基础知识，考查函数与方程思想、分别事整合思想及化归与转化思想．
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