（2010•黄冈模拟）如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点F，且交椭圆C

解题思路：（1）由题设条件知c=1，a²=b²+c²=4，椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

＝1，再由l与y轴交于M(0，−

1

m

)，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x＝my+1 3x2+4y2−12＝0

，知（3m²+4）y²+6my-9=0，△=144（m²+1）＞0，然后由根与系数的关系能求出λ₁+λ₂的值；
（2）由F（1，0），k=（a²，0），先探索m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED由对称性知，AE与BD相交FK中点N，且N(

a2+1

2

，0)，再猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点N(

a2+1

2

，0)．然后结合题设条猜想进行证明．

（1）易知b＝
3，∴b²=3，又F（1，0），∴c=1，a²=b²+c²=4
∴椭圆C的方程为
x2
4+
y2
3＝1（3分）
∵l与y轴交于M(0，−
1
m)
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x＝my+1
3x2+4y2−12＝0
∴（3m²+4）y²+6my-9=0，△=144（m²+1）＞0∴[1
y1+
1
y2＝
2m/3(*)（5分）
又由

MA＝λ1

AF]，∴(x1，y1+
1
m)＝λ1(1−x1，−y1)
∴λ1＝−1−
1
my1同理λ

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行猜想．