以BC为直径的圆O交△CBF的边CF于点A,BM平分∠ABC交AC于点M,AD⊥BC于点D,AD交BM于点N,ME⊥BC
以BC为直径的圆O交△CBF的边CF于点A,BM平分∠ABC交AC于点M,AD⊥BC于点D,AD交BM于点N,ME⊥BC于点E,AB²=AF*AC且cos∠ABD=3分之5,AD=12.(1)求证：△ANM≌△ENM; (2)求证：FB是圆O的切线；（3）证明四边形AMEN是菱形,并求该菱形的面积S.
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.⑴证明：∵BC是⊙O的直径
∴∠BAC=90o
又∵EM⊥BC,BM平分∠ABC,
∴AM=ME,∠AMN=EMN
又∵MN=MN,
∴△ANM≌△ENM
⑵∵AB2=AF•AC
∴
又∵∠BAC=∠FAB=90o
∴△ABF∽△ACB
∴∠ABF=∠C
又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90o
∴FB是⊙O的切线
⑶由⑴得AN=EN,AM=EM,∠AMN=EMN,
又∵AN‖ME,∴∠ANM=∠EMN,
∴∠AMN=∠ANM,∴AN=AM,
∴AM=ME=EN=AN
∴四边形AMEN是菱形
∵cos∠ABD= ,∠ADB=90o
∴
设BD=3x,则AB=5x,由勾股定理
而AD=12,∴x=3
∴BD=9,AB=15
∵MB平分∠AME,∴BE=AB=15
∴DE=BE-BD=6
∵ND‖ME,∴∠BND=∠BME,又∵∠NBD=∠MBE
∴△BND∽△BME,则
设ME=x,则ND=12-x,,解得x=
∴S=ME•DE= ×6=45
∴∠BAC=90o
又∵EM⊥BC,BM平分∠ABC,
∴AM=ME,∠AMN=EMN
又∵MN=MN,
∴△ANM≌△ENM
⑵∵AB2=AF•AC
∴
又∵∠BAC=∠FAB=90o
∴△ABF∽△ACB
∴∠ABF=∠C
又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90o
∴FB是⊙O的切线
⑶由⑴得AN=EN,AM=EM,∠AMN=EMN,
又∵AN‖ME,∴∠ANM=∠EMN,
∴∠AMN=∠ANM,∴AN=AM,
∴AM=ME=EN=AN
∴四边形AMEN是菱形
∵cos∠ABD= ,∠ADB=90o
∴
设BD=3x,则AB=5x,由勾股定理
而AD=12,∴x=3
∴BD=9,AB=15
∵MB平分∠AME,∴BE=AB=15
∴DE=BE-BD=6
∵ND‖ME,∴∠BND=∠BME,又∵∠NBD=∠MBE
∴△BND∽△BME,则
设ME=x,则ND=12-x,,解得x=
∴S=ME•DE= ×6=45
1年前
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