已知实轴长为2a，虚轴长为2b的双曲线S的焦点在x轴上，直线y=-3x，|OA|2+|OB|2=[4/3]|OA|2•|

解题思路：（Ⅰ）由题意可设双曲线方程为：x2a2-y2b2=1，由渐近线方程，可得b=3a，由|OA|2+|OB|2=43|OA|2•|OB|2则a2+b2=43a2b2，解出a2，b2，即可得到双曲线方程；（Ⅱ）设M，N为S上关于直线l：y=kx+4对称点，设MN：x+ky+n=0，则联立双曲线方程，消去x，运用韦达定理和中点坐标公式，注意判别式大于0，由中点在已知直线上，得到n=1−3k2k，再代入判别式化简整理，即可解出k的范围．

（Ⅰ）由题意可设双曲线方程为：
x2
a2-
y2
b2=1，
由直线y=-
3x是一条渐近线方程，则b=
3a，
又|

OA|²+|

OB|²=[4/3]|

OA|²•|

OB|²
则a²+b²=[4/3]a²b²，
解得a²=1，b²=3，
故双曲线S的方程是x²-
y2
3=1；
（Ⅱ）由双曲线S上存在两个点关于直线l：y=kx+4对称，则k≠0，
设M，N为S上关于直线l：y=kx+4对称点，设MN：x+ky+n=0，
则联立双曲线方程，消去x，得（3k²-1）y²+6kny+3n²-3=0，
y₁+y₂=[6kn
1−3k2，y₁y₂=
3n2−3
3k2−1，且3k²-1≠0，
△=36k²n²-4（3n²-3）（3k²-1）＞0，
即k²≠
1/3]，n²+3k²＞1①，
则M，N的中点的纵坐标为
y1+y2
2=[3kn
1−3k2，
横坐标为-k•
3kn
1−3k2-n=
n
3k2−1，
又中点在直线l上，即有
3kn
1−3k2=k•
n
3k2−1+4，
化简得kn+3k²-1=0，即n=
1−3k2/k]，
代入①得（
1−3k2
k）²+3k²＞1，
化简整理得，12k⁴-7k²+1＞0，
即有k²＞[1/3]或k²＜[1/4]，即k＞

3
3或k＜-

3
3或-[1/2]＜k＜[1/2]，且k≠0，
则实数k的取值范围是（-∞，-

3
3）∪（-[1/2]，0）∪（0，[1/2]）∪（

3
3，+∞）．

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查双曲线的方程和性质，考查联立直线方程和双曲线方程，消去未知数，运用韦达定理和中点坐标公式，注意判别式大于0，考查化简整理的运算能力，属于难题．