（2012•成都模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且nan+1=2Sn，数列{bn}满足b1=12，b2

解题思路：（Ⅰ）利用na_n+1=2S_n，再写一式，两式相减，再叠乘，即可求数列{a_n}的通项公式；在数列{b_n}中，由

b

2 n+1

=b_n•b_n+2，b₁=[1/2]，b₂=[1/4]，知数列{b_n}是等比数列，首项、公比均为[1/2]，由此可得数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法求数列的和，再将不等式转化为（1-λ）n²+（1-2λ）n-6＜0恒成立，构造函数，利用函数的性质，即可确定实数λ的取值范围．

（Ⅰ）∵na_n+1=2S_n，∴（n-1）a_n=2S_n-1（n≥2），两式相减得，na_n+1-（n-1）a_n=2a_n，
∴na_n+1=（n+1）a_n=，即
an+1
an＝
n+1
n，
∴a_n=a1×
a2
a1×…×
an
an−1=n（n≥2），
a₁=1满足上式，故数列{a_n}的通项公式a_n=n（n∈N^*）．
在数列{b_n}中，由
b2n+1=b_n•b_n+2，b₁=
1
2，b₂=
1
4，知数列{b_n}是等比数列，首项、公比均为
1
2，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=(
1
2)n；
（Ⅱ）∵T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=
1
2+2×(
1
2)2+…+n×(
1
2)n①
∴
1
2T_n=(
1
2)2+2×(
1
2)3+…+（n-1）×(
1
2)n+n×(
1
2)n+1②
由①-②，得
1
2T_n=
1
2+(
1
2)2+(
1
2)3+…+(
1
2)n-n×(
1
2)n+1=1-
n+2
2n+1，
∴T_n=2-
n+2
2n
∴不等式λnT_n+2b_nS_n＜2（λn+3b_n）即为λn（2-
n+2
2n）+
n(n+1)
2n＜2（λn+
3
2n），
即（1-λ）n²+（1-2λ）n-6＜0恒成立．
设f（n）=（1-λ）n²+（1-2λ）n-6，
当λ=1时，f（n）=-n-6＜0成立，则λ=1满足条件；
当λ＜1时，由二次函数性质知不恒成立；
当λ＞1时，由于−
1−2λ
1−λ＜0，则f（n）在[1，+∞）上单调递减，f（n）≤f（1）=-3λ-4＜0恒成立，则λ＞1满足条件．
综上所述，实数λ的取值范围是[1，+∞）．

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列递推式．

考点点评： 本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查错位相减法求数列的和，考查恒成立问题，确定数列的通项，正确求和是关键．