(2012•长春模拟)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).

(2012•长春模拟)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).
(1)求证:数列{an+1}是等比数列,并写出数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足4b1−14b2−14b3−14bn−1(an+1)n,求数列{bn}的前n项和Sn
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换房子买车 幼苗

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解题思路:(1)由题意可得 an+1+1=2(an+1),数列{an+1}是以2为公比、以2为首项的等比数列,求得an+1=2n,从而求得{an}的通项公式.
(2)由题意可得 4b1+b2+…+bn−n=(2nn=(2)n2,即 2(b1+b2+…+bn)-2n=n2,由此求得数列{bn}的前n项和Sn

(1)证明:∵an+1=2an+1(n∈N*),∴an+1+1=2(an+1).
又 a1=1,a1+1≠0,∴
an+1+1
an+1=2,
∴数列{an+1}是以2为公比、以2为首项的等比数列,
∴an+1=2n,即an =2n-1.
(2)∵4b1−1•4b2−1•4b3−1…4bn−1=(an+1)n,
]∴4b1+b2+…+bn−n=(2nn=(2)n2,
∴2(b1+b2+…+bn)-2n=n2
∴b1+b2+…+bn=
n2
2+ n.

点评:
本题考点: 数列的求和;等比关系的确定.

考点点评: 本题主要考查等比关系的确定,指数幂的运算性质,属于中档题.

1年前

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