（2014•眉山二模）以抛物线y2=4x的焦点为右焦点的椭圆，上顶点为B2，右顶点为A2，左、右焦点为F1、F2，且|F

（2014•眉山二模）以抛物线y2=4x的焦点为右焦点的椭圆，上顶点为B2，右顶点为A2，左、右焦点为F1、F2，且|
F1B2
|cos∠B2F1F2=
3
3
|
OB2
|，过点D（0，2）的直线l，斜率为k（k＞0），l与椭圆交于M，N两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若M，N的中点为H，且
OH
∥
A2B2
，求出斜率k的值；
（3）在x轴上是否存在点Q（m，0），使得以QM，QN为邻边的四边形是个菱形？如果存在，求出m的范围；否则，请说明理由．
行云无边 1年前 已收到1个回答 举报
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kiki_224 幼苗

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解题思路：（1）由抛物线y2=4x的焦点，求出椭圆的焦点，利用|
/F1B2]|cos∠B2F1F2=
3
3
|
OB2
|，求出b，从而可求a，即可求椭圆的标准方程；
（2）设l：y=kx+2（k＞0），代入椭圆方程，求出H的坐标，利用
OH
∥
A2B2
，即可求出斜率k的值；
（3）设在x轴上存在点Q（m，0），使得以QM，QN为邻边的四边形是个菱形，则HQ⊥MN，可得m=-
2k
4k2+3
，利用基本不等式，即可求出m的范围．

（1）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），∴椭圆中c=1，
∵|

F1B2|cos∠B2F1F2=

3
3|

OB2|，
∴b=
3c=
3，
∴a=2，
∴椭圆的标准方程为
x2
4+
y2
3＝1；
（2）设l：y=kx+2（k＞0），M（x1，y1），N（x2，y2），
直线代入椭圆方程得（4k2+3）x2+16kx+4=0，
∴△=12k2-3＞0，
∵k＞0，∴k＞[1/2]，
且x1+x2=[−16k
4k2+3，x1x2=
4
4k2+3，
∴MN的中点H（
−8k
4k2+3，
6
4k2+3），
∵

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查基本不等式，属于中档题．

1年前

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