（2014•临沂二模）已知椭圆C的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C上任意一
（2014•临沂二模）已知椭圆C的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C上任意一点，且|PF1|•|PF2|的最大值为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A、B，满足
+
=t
（O为坐标原点），当|
-
|＜
时，求实数t的取值范围．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A、B，满足
| OA |
| OB |
| OP |
| PA |
| PB |
2
| ||
| 3 |
赞 月儿121 花朵
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解题思路：（Ⅰ）由已知条件结合抛物线性质求出c=1，由椭圆的定义结合不等式性质求出a2=2，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x-2），联立
，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出实数的取值范围．
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x-2），联立
|
（Ⅰ）由抛物线y2=4x的准线是x=-1，
得椭圆C的一个焦点是F1（-1，0），即c=1，
由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a，
∴|PF1|•|PF2≤（
|PF1|+|PF2|
2）2=a2，
当且仅当|PF1|=|PF2|=a时取等号，
∴a2=2，∴b2=a2-c2=1，
∴椭圆C的方程为
x2
2+y2＝1．
（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在，
设直线AB的斜率为k，则其方程为y=k（x-2），
联立
y＝k(x−2)
x2
2+y2＝1，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，
△=64k2-4（1+2k2）（8k2-2）＞0，解得k2＜
1
2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），
则x1+x2 ＝
8k2
1+2k2，x1•x2＝
8k2−2
1+2k2，
∵
OA•
OB＝t
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
1年前
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