已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的一个焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合,且截抛物线的准线所得弦长为根号

（I）抛物线x2＝4
2
y的焦点坐标为（0,
2
）,可得椭圆的上顶点为（0,
2
）,得b=
2
∵椭圆的离心率e＝
3

3
,得
c
a
=
3

3
,解得a=
3
,c=1
∴椭圆C的方程是
x2
3
+
y2
2
＝1
（II）由（I）得椭圆C的右焦点为F2（1,0）
①当直线l与x轴垂直时,直线l斜率不存在,此时M（1,
2
3
3
）,N（1,-
2
3
3
）
∴
OM
•
ON
=1×1+
2
3
3
×（-
2
3
3
）=-
1
3
,不符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时,设直线方程l：y=k（x-1）,且M（x1,y1）,N（x2,y2）
由
x2
3
+
y2
2
＝1
y＝k(x−1)

,得（2+3k2）x2-6k2x+3k2-6=0
x1+x2=
6k2
2+3k 2
,x1•x2=
3k2−6
2+3k2
∴
OM
•
ON
=x1•x2+y1•y2=x1•x2+k2[x1•x2-（x1+x2）+1]=（1+k2）x1•x2-k2（x1+x2）+k2=-1
即（1+k2）•
3k2−6
2+3k2
-k2•
6k2
2+3k 2
+k2=-1
解之得k=±
2
,故直线l的方程是y=
2
（x-1）或y=-
2
（x-1）．
（III）设M（x1,y1）,N（x2,y2）,A（x3,y3）,B（x4,y4）
由（II）得|MN|=
(x1−x2)2+(y1−y2)2
=
1+k2
|x1-x2|
=
(1+k2)[(x1+x2)2−4x 1x2]
=
(1+k2)[(
6k2
2+3k 2
)2−4×
3k2−6
2+3k2
]
=
4
3
(k2+1)
2+3k2
由
x2
3
+
y2
2
＝1
y＝kx

消去y,整理得x2＝
6
2+3k 2
∴|AB|=
(x3−x4)2+(y3−y4)2
=
1+k2
|x3-x4|=2
6(k2+1)
2+3k2

∴
3
|AB|2
|MN|
=
24
3
(k2+1)
2+3k2

4
3
(k2+1)
2+3k2

=6．