(本小题满分12分) 如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是 边长为2的菱形, ,E是CD的中点,PA 底面ABC D,PA=4 (1)证明:若F是棱PB的中点,求证:EF//平面PAD; (2)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小。 |
mikedj 幼苗
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(1)略(2)
证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,E是CD的中点
∴BE⊥AB,
又PA⊥底面ABCD,
∴BE⊥PA
∴BE⊥平面PAB
∴BE 平面PBE
∴平面PBE⊥平面PAB
(2)设PA的中点为M,连接EF、FM、MD
则M F// AB、DE// AB,
∴DE//FM、DE=FM
∴四边形EFMD是平面四边形,
∴EF//DM
又EF 平面PAD,DM 平面PAD
∴EF//平面PAD
(3)延长BE交AD的延长线于G,则PG是平面PAD和平面PBE的交线过点A作AH⊥OB、AN⊥PG,
∵AH⊥平面PAB,
∴∠ANH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角
在Rt△PAB中,PA=4、AB=2
∴
∵E是DC的中点,且AB//CD,
∴AG=2AD=4
∴在Rt△PAG中 ,AN= ,
∴Rt△ANH中,
∴平面PAD和平面PBE所成 二面角的大小为
或如图,建立空间直角坐标系O—xyz,
B(1,0,0),
则 ,
设平面PAD的法向量为
则
可得
又
设平面PBE的法向量为
,
=0
可得 ,取x=1,
平 面PA D和平面PBE所成二面角的大小为
1年前
你能帮帮他们吗