（2010•台州二模）已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．

解题思路：（1）求函数F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]²的最大值和最小正周期，必须先求f（x）的导数，再进行化简F（x）．再决定如何求最值和周期．
（2）根据f（x）=2f'（x），易得sinx+cosx−2cosx−2sinx⇒tanx＝

1

3

；再求

1+sin2x

cos2x−sinxcosx

的值，可以采用“齐次化切法”．

（1）已知函数f（x）=sinx+cosx，则f′（x）=cosx-sinx．
代入F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]²
易得
F(x)＝cos2x+sin2x+1＝
2sin(2x+
π
4)+1
当2x+
π
4＝2kπ+
π
2⇒x＝kπ+
π
8(k∈Z)时，[F(x)]max＝
2+1
最小正周期为T＝
2π
2＝π
（2）由f（x）=2f'（x），易得sinx+cosx=2cosx-2sinx．
解得tanx＝
1
3
∴
1+sin2x
cox2x−sinxcosx＝
2sin2x+cos2x
cos2x−sinxcosx＝
2tan2x+1
1−tanx＝
11
6；
答：（1）函数F（x）的最大值为
2+1，最小正周期为π；
（2）
1+sin2x
cos2x−sinxcosx的值为[11/6]．

点评：
本题考点： 导数的运算；同角三角函数基本关系的运用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．

考点点评： 求f（x）的导数，必须保证求导的准确，要熟记求导公式．已知tanx=a，求其它三角函数代数式的值，常常采用“齐次化切法”．