一条天津高考数列题(2007•天津)在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(
一条天津高考数列题
(2007•天津)在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*),其中λ>0.
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)求数列{an}的前n项和Sn;
(III)证明存在k∈N*,使得 对任意n∈N*均成立.
(Ⅰ)解法一:a2=2λ+λ2+(2-λ)2=λ2+22,
a3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)22=2λ3+23,
a4=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)23=3λ4+24.
由此可猜想出数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n.
以下用数学归纳法证明.
(1)当n=1时,a1=2,等式成立.
(2)假设当n=k时等式成立,即ak=(k-1)λk+2k,
那么ak+1=λa1+λk+1+(2-λ)2k=λ(k-1)λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k
=[(k+1)-1]λk+1+2k+1.
这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式an=(n-1)λn+2n对任何n∈N*都成立.
解法二:由an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*),λ>0,
可得,
所以为等差数列,其公差为1,首项为0.故,所以数列{an}的通项公式为an=(n-1)λn+2n.
(Ⅱ)解:设Tn=λ2+2λ3+3λ4+…+(n-2)λn-1+(n-1)λn,①
λTn=λ3+2λ4+3λ5+…+(n-2)λn+(n-1)λn+1.②
当λ≠1时,①式减去②式,
得,
.
这时数列{an}的前n项和.
当λ=1时,.这时数列{an}的前n项和.
(Ⅲ)证明:通过分析,推测数列的第一项最大,下面证明:
,n≥2. ③
由λ>0知an>0,要使③式成立,只要2an+1<(λ2+4)an(n≥2).
因为(λ2+4)an=(λ2+4)(n-1)λn+(λ2+1)2n
>4λ·(n-1)λn+4×2n=4(n-1)λn+1+2n+2
≥2nλn+1+2n+2=2an+1,n≥2,
所以③式成立.
因此,存在k=1,使得对任意n∈N*均成立.
不懂的是最后第三题
(λ2+4)an=(λ2+4)(n-1)λn+(λ2+1)2n
>4λ·(n-1)λn+4×2n
为什么λ^2+4下面变成了>4λ,是为什么,均值不等式吗,那为什么不是>=4λ,还有λ^2为什么变成了4了,