（2012•河西区一模）设函数f（x）=（1+x）2-ln（1+x）2．

解题思路：（1）确定函数定义域，求导函数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（2）确定函数在[[1/e]-1，e-1]上的单调性，从而可得函数的最大值，不等式，即可求得实数m的取值范围；
（3）方程f（x）=x²+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0，记g（x）=x-a+1-ln（1+x）²．求导函数，确定函数在区间[0，2]上的单调性，为使f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一个实根，从而可建立不等式，由此可求实数a的取值范围．

（1）函数定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞），
因为f′(x)＝2[(x+1)−
1
x+1]=
2x(x+2)
x+1，
由f′（x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0，由f′（x）＜0得x＜-2或-1＜x＜0．
∴函数的递增区间是（-2，-1），（0，+∞），递减区间是（-∞，-2），（-1，0）．
（2）由f′（x）=
2x(x+2)
x+1=0得x=0或x=-2．由（1）知，f（x）在[[1/e]-1，0]上递减，在[0，e-1]上递增．
又f（[1/e]-1）=[1
e2+2，f（e-1）=e²-2，
∴e2−2−
1
e2−2=
(e2−2)2−5
e2＞0
∴e²-2＞
1
e2+2．所以x∈[
1/e]-1，e-1]时，[f（x）]_max=e²-2．故m＞e²-2时，不等式f（x）＜m恒成立．
（3）方程f（x）=x²+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0，记g（x）=x-a+1-ln（1+x）²．
所以g′（x）=1-[2/1+x]=[x−1/x+1]．
由g′（x）＞0，得x＜-1或x＞1，由g′（x）＜0，得-1＜x＜1．
所以g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增，
为使f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一个实根，于是有


g(0)≥0
g(1)＜0
g(2)≥0，∴

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数与方程的综合运用；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数与方程思想，属于中档题．