如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1，AA1=AB=2a，D、E分别为CC1、A1B的中点．

解题思路：（Ⅰ）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定定理和性质定理及线面平行的判定定理即可得出；
（Ⅱ）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（Ⅲ）利用三棱锥的体积计算公式即可得出．

证明：（Ⅰ）如图所示：取AB的中点F，连接EF、CF、ED．
又∵BE=EA₁，∴EF
∥
.
1
2AA1．
由已知得CD
∥
.
1
2AA1，∴CD
∥
.EF．
∴四边形EFCD为平行四边形，
∴ED∥FC．
又∵ED⊄平面ABC，CF⊂平面ABC．
∴ED∥平面ABC．
（Ⅱ）由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，可得A₁A⊥底面ABC，∴A₁A⊥CF．
由F是正△ABC的边AB的中点，∴CF⊥AB．
又A₁A∩AB=A，∴CF⊥侧面ABB₁A₁，
∵ED∥FC，∴DE⊥侧面ABB₁A₁．
∴DE⊥AE．
在等腰△ABA₁中，由AB=AA₁，BE=EA₁．
∴AE⊥A₁B．
又∵A₁B∩DE=E．
∴AE⊥平面A₁BD．
∴AE⊥BD．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：DE⊥侧面ABB₁A₁，且DE＝CF＝
3a．
∴V三棱锥D−ABA1=[1/3×S△ABA1×DE=
1
3×
1
2(2a)2×
3a=
2
3a3
3]．

点评：
本题考点： 直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．

考点点评： 熟练掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理及三棱锥的体积计算公式是解题的关键．