（2014•江西一模）已知n∈N*，设函数fn（x）=n-x+x22-x33+…-x2n−12n−1，x∈R．

解题思路：（1）y=f₂（x）-bx，求导数y′，按△≤0，△＞0两种情况讨论，△≤0时y′≤0，可知函数在R上的单调性；当△＞0时解不等式y′＞0，y′＜0即得函数的单调区间；
（2）先求n=1时方程f_n（x）=0的根，得区间[1，2]，理由如下：n=1时求出方程的根，易判断；当n≥2时，求出f_n′（x），讨论可得x=-1，0时f′_n（x）＜0，x≠-1，0时，利用等比数列求和公式可化简f′_n（x），此时也可判断f′_n（x）＜0，从而可得f_n（x）在（-∞，+∞）上单调递减．而f_n（1）0，根据零点存在定理及函数单调性知，方程f_n（x）=0在[1，2]上有唯一实数解，综述可得结论；

（1）∵f（x）=2−x+
x2
2−
x3
3，y=f₂（x）-bx，
∴y=2−x+
x2
2−
x3
3-bx，
∴y′=-x²+x-b-1=-（x²-x+b+1）
方程x²-x+b+1=0的判别式△=1-4（b+1）=-3-4b
当b≥−
3
4，△≤0，y′≤0
故函数y=f₂（x）-bx在R上单调递减
当b＜−
3
4时，方程x²-x+b+1=0的两个实根为x1＝
1−
−3−4b
2x2＝
1+
−3−4b
2
则x∈（-∞，-1）时，y'＜0；x∈（x₁，x₂）时，y'＞0，x∈（x₂，+∞）时，y'＜0
故函数y=f₂（x）-bx的单调递减区间为（-∞，x₁）、（x₂，+∞）
单调递增区间为（x₁，x₂）．
（2）存在t=1，对于任意n∈N^*，关于x的方程f_n（x）=0在区间[t，t+1]上有唯一实数解，理由如下：
当n=1时，f₁（x）=1-x，令f₁（x）=1-x=0，解得x=1，
所以关于x的方程f₁（x）=0有唯一实数解x=1；
当n≥2时，由f_n（x）=n-x+
x2
2-
x3
3+…-
x2n−1
2n−1，x∈R．
得f_n′（x）=-1+x-x²+…+x^2n-3-x^2n-2，
若x=-1，则f′_n（x）=f′_n（-1）=-（2n-1）＜0，
若x=0，则f′_n（x）=-1＜0，
若x≠-1且x≠0时，则f′_n（x）=-
x2n−1+1
x+1，
当x＜-1时，x+1＜0，x^2n-1+1＜0，f′_n（x）＜0，
当x＞-1时，x+1＞0，x^2n-1+1＞0，f′_n（x）＜0，
所以f′_n（x）＜0，故f_n（x）在（-∞，+∞）上单调递减．
∵gn(1)＝(1−1)+(
1
2−
1
3)+(
1
4−

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本小题主要考查三次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数的零点、数列求和等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括、推理论证、运算求解、创新意识．