（2014•江西一模）已知函数f(x)＝lnax+bx+ax（a、b为常数），在x=-1时取得极值．

（1）f′(x)＝
1
x+b−
a
x2＝
bx2+x−a
x2，
∵f（x）在x=-1有定义∴a＜0．
由题意知，x=-1是方程
bx2+x−a
x2＝0的根，且不是重根．
∴b=a+1且1+4ab≠0，
又∵a＜0，∴b＜1且b≠
1
2；
（2）a=-1时b=a+1=0即方程ln(−x)−
1
x＝2x+m在（-∞，0）上有两个不等实根．
即方程lnx+
1
x+2x＝m在（0，+∞）上有两个不等实根．
令g(x)＝lnx+
1
x+2x（x＞0）g′(x)＝
1
x−
1
x2+2＝
2x2+x−1
x2（x＞0）
∴g（x）在(0，
1
2]上单调递减，在[
1
2，+∞)上单调递增，
∴当x＝
1
2时，g（x）_min=g(
1
2)＝3−ln2．
又当x→0时，g（x）→+∞；当x→+∞时，g（x）→+∞，
∴当m＞3-ln2时，方程f（x）=2x+m有两个不相等的实数根．
（3）an＝1−
1
an−1+1，∴an＝
an−1
an−1+1，[1
an＝1+
1
an−1，
∴{
1
an}是以2为首项，1为公差的等差数列．
∴
1
an＝n+1．
∴an＝
1/n+1

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；数列与不等式的综合．

考点点评： 本题是学生容易做错的类型特别是第一小问中的a＜0和1+4ab≠0，往往是他们最容易忽视的范围，第二问依旧是在第一问的基础上，将问题转化成我们更为熟悉的内容；最后一问更是综合性比较强，应该说是数列和不等式的综合应用，难度较大，特别是将（2）中的结论应用于该数列，对x的赋值，比较困难，包括后面的化简，也是需要比较高的观察分析能力和计算能力．

1年前

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