（2014•湖南模拟）已知函数f(x)＝13x3 +ax2 +bx．

∵函数f（x）在区间[-1，1），（1，3]内各有一个极值点，
∴f′（x）=x²+2ax+b=0在[-1，1），（1，3]内分别有一个实根，
设两个实根为x₁，x₂（x₁＜x₂），则x₂-x₁=2
a2−b，且0＜x₂-x₁≤4，于是
0＜2
a2−b≤4，0＜a²-b≤4，且当x₁=-1，x₂=-3时等号成立，
故a²-b取得最大值是4，此时f（x）=
1
3x3−x2−3x；
（2）假如存在点p（x₀，y₀）符合条件，
则由f′（x）=x²-2x+b知f（x）在点P处切线l的方程是
y-f（x₀）=f′（x₀）（x-x₀），即y=（x02−2x0+b）x-
2
3x03+x 02
令g（x）=f（x）-[（x02−2x0+b）x-
2
3x03+x 02]=
1
3x3−x2-（x 02-2x₀）x+
2
3x03-x 02，则g（x₀）=0
由题设知，g（x）=f（x）-[（x02−2x0+b）x-
2
3x03+x