二比型求标准化的正交矩阵这个正交阵求出来之后一定要单位化吗?为什么啊.一定要单位化吗？为什么？

abcd7571 1年前 已收到3个回答 举报
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风儿轻轻000 幼苗

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一般步骤是这样:
1.写出二次型的矩阵A
2.求A的特征值
3.对每个特征值a,求出 (A-aE)X=0 的基础解系,得属于a的特征向量
若a是重根,则特征向量需要正交化
4.对所有特征向量单位化
5.将单位化后的特征向量作为列向量构成矩阵P
则P是正交矩阵,满足 P^-1AP 是对角矩阵
一个方阵是正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组是正交规范的
即列向量的长度都是1 且两两正交
所以必须单位化才能得到正交矩阵

1年前

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开花的情圣 幼苗

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注意，若是求二次型的标准型的话，是不需要单位化的，但是不经过单位化是得不到正交矩阵的，不过求标准型并不需要正交矩阵，以下将说明这一问题。
如果不进行单位化，你将得到矩阵S，将S单位化后能得到一个正交矩阵T，并且S=TK。其中K为对角矩阵，设ai为S的第i个纵向量，那么kii等于ai的长度。显然K可逆，且对称，故S可逆。
设A为二次型对应的对称矩阵，则D=T‘AT为对角矩阵，那么

1年前

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雄狮猛虎 幼苗

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λ1=λ2=1,λ3=10. 2. 求A的两两正交的特征向量 (A-E)X=0 的基础解系为: a1=(1,1,0)

1年前

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