平面直角坐标系中，O为原点，射线OA与x轴正半轴重合，射线OB是第一象限角平分线．在OA上有点列A1，A2，A3，…，A

（1）

OA2＝
4
5

OA1＝
4
5(5，0)＝(4，0)，A₂（4，0），（2分）
设B₁（x，x），x＞0，由|

OB1|=
2，得
x2+y2＝
2，
x=1，∴B₁（1，1）．
（2）设

OAn＝(xn，0)，则(xn+1，0)＝
4
5(xn，0)，⇒xn+1＝
4
5xn，{x_n}成等比数列，
x1＝5，q＝
4
5，xn＝5•(
4
5)n−1，
∴

OAn＝(5•(
4
5)n−1，0)．（6分）
设

OBn＝(yn，yn)，yn＞0，|

OBn|＝
2yn由|

OBn+1|＝|

OBn|+
2⇒yn+1＝yn+1，
∴{y_n}是等差数列 （8分）y_n=1+（n-1）=n，
∴

OBn＝(n，n)．（9分）
（3）S△AnOBn＝
1
2|

OAn||

OBn|sin
π
4＝
1
2•5•(
4
5)n−1•
2n•

2
2＝
25n
8•(
4
5)n，（11分）
设tn＝
25n
8•(
4
5)n，当n≥2时，tn−tn−1＝
25n
8•(
4
5)n−
25(n−1)
8•(
4
5)n−1=[125/128•(
4
5)n(5−n)，
∴1≤n≤4时，{t_n}是递增数列，n≥6时，{t_n}是递减数列，t₁＜t₂＜t₃＜t₄=t₅＞t₆＞t₇＞…＞t_n＞…，
∴(S△AnOBn)max＝t4＝t5＝
128
25]．