已知∣∣x∣―∣y∣∣≤1,Z=x^2+y^2―6x―2y+10,求Z的取值范围

由Z=x^2+y^2―6x―2y+10变形得
Z=（x-3）^2+（y-1）^2
可见Z表示点（x,y）到点P（3,1）的距离的平方.
由∣∣x∣―∣y∣∣≤1变形得
-1≤∣x∣―∣y∣≤1
∣x∣-1≤∣y∣≤∣x∣+1…………①
用线性规划知识得：(如图)
当x≥0且y≥0时,①式变为x-1≤y≤x+1,表示△AOB所包含的区域.
当x≥0且y≤0时,①式变为 -x-1≤y≤-x+1,表示△AOD所包含的区域.
当x≤0且y≥0时,①式变为 -x-1≤y≤-x+1,表示△BOC所包含的区域.
当x≤0且y≤0时,①式变为x-1≤y≤x+1, 表示△COD所包含的区域.
综上所述,已知条件∣∣x∣―∣y∣∣≤1表示的是正方形ABCD的边界及其所包含的区域.
所求的Z表示：从这个区域内任取的一点Q（x,y）到点P的距离的平方.
即Z=∣PQ∣^2
计算得A（1,0）、B（0,1）、C（-1,0）、D（0,-1）
∣AQ∣=√5
∣CQ∣=√17
用点到直线的距离公式可求得点P到直线y= -x+1、y= -x-1的距离分别为3/√2、5/√2
3/√2<√5
5/√2<√17
可知
当Q点与A重合时,∣PQ∣最小,最小值为√5
当Q点与C重合时,∣PQ∣最大,最小值为√17
所以（√5）^2≤Z≤（√17）^2
即5≤Z≤17