已知函数 f(x)= a (x-1) 2 +1 bx+c-b （a，b，c∈N）的图象按向量 e =(-1，0) 平移后

（1）函数f（x）的图象按向量

e =(-1，0)
平移后得到的图象所对应的函数式为 g(x)=f(x+1)=
a x 2 +1
bx+c
因为图象关于原点对称，∴g（-x）=-g（x），即
a (-x) 2 +1
b(-x)+c =-
a x 2 +1
bx+c
∵a∈N，∴ax ² +1＞0，b（-x）+c=bx+c，∴c=0
∵f（2）=2，∴a=2b-1，又f（3）＜3，∴4a+1＜6b由条件知a=1，b=1
（2）∵f（x）=
(x-1) 2 +1
x-1 ，∴f（tx+1）=tx+
1
tx
∴|f（tx+1）|=|tx+
1
tx |=|tx|+|
1
tx |≥2
|tx|•|
1
tx | =2
当且仅当|tx|=1时等号成立．
但0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，∴|tx|≠1，|f（tx+1）|＞2．
由于S=（|t+x|+|t-x|） ² =2（t ² +x ² ）+2|t ² -x ² |
当|t|≥|x|时，S=4t ² ≤4；当|t|＜|x|时S=4x ² ＜4．
∴|t+x|+|t-x|≤2＜|f（tx+1）|，即|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|
（3）由（1）知：G（x）=f（x）-x+2=
x
x-1
令A=G（4）×G（6）×G（8）×…×G（2n）=
4
3 ×
6
5 ×…×
2n
2n-1
由不等式
b
a ＞
b+m
a+m （b＞a，a，b，m∈R ⁺ ），
得
4
3 ＞
5
4 ，
6
5 ＞
7
6 ，…，
2n-2
2n-3 ＞
2n-1
2n-2 ，
2n
2n-1 ＞
2n+1
2n
将这些同向不等式相乘得
A＞
5
4 ×
7
6 ×…×
2n-1
2n-2 ×
2n+1
2n
A 2 ＞
4
3 ×
5
4 ×
6
5 ×
7
6 ×…×
2n
2n-1 ×
2n+1
2n =
2n+1
3 ＞
2n+1
4
故A＞

2n+1
2 ，即G（4）×G（6）×G（8）×…×G（2n）＞

2n+1
2 ．