本小题满分12分) 已知 函数 f ( x )= x 3 + ax 2 －bx ( a , b ∈ R )

(1)∵ f ′( x )= x ² + 2 ax －b ,
∴ 由题意可 知： f ′(1)= － 4且 f (1)= － ,
∴ 解得： …………………………2分

∴ f ( x )= x ³ －x ² － 3 x 。
f ′( x )= x ² － 2 x － 3=（ x+ 1）（ x－ 3）.
令 f ′( x )= 0，得 x ₁ = － 1， x ₂ =3，……………3分
由此可知：

x
( － ∞, － 1)
－1
(－1, 3)
3
(3, +∞)

f ’( x )
+
0
－
0
+

f ( x )
↗
f ( x )极大5/3
↘
f ( x ) 极小
↗
∴ 当 x =－1时, f ( x )取极大值 . …………………………6分
(2) ∵ y = f ( x )在区间[ － 1，2]上是单调减函数，
∴ f ′( x )= x ² + 2 ax －b ≤0在区间[ － 1，2]上恒成立.
根据二次函数图象可知 f ′( － 1)≤0且 f ′(2)≤0，即：
也即 …………………9分

作出不等式组表示的平面区域如图：
当直线 z=a +b 经过交点P( － , 2)时，
z=a+b 取得最小值 z= － +2= ,
∴ z=a+b 取得最小值为 ……………………12分