证明：函数f（×）=√(1+x^2)-x在R上是单调减函数

在高中阶段,证明函数增减性时不能用到其它函数的增减性,还要求必须使用定义（做差,判断符号）来证明,于是,很多不等式也不能够使用（有可能被认为是使用其它函数的增减性,只有极少数不容易被视为使用了函数增减性的不等式才能出现在证明中）.这个要求本身是荒谬的,不合理的,所以大型考试和正规考试中都不会考这类题目,但是,总有一些人不知什么心态,非要想方设法来折腾学生,老是出这类无聊的题目.（在大学里,证明单调性还可以使用导数等工具）.当然,对同学来说,没有办法改变,只能适应.
对于本题,可这样处理.

证明：
（1）先证f(x)>0对任意x∈R成立.
当x≤0时,-x≥0,√(1+x^2)>0,故f(x)=√(1+x^2)-x>0；
当x>0时,由上面证明可知√(1+x^2)+x>0,于是f(x)=1/[√(1+x^2)+x]>0.
于是f(x)>0对任意x∈R成立.

（2）在证对任意x1, x2∈R,且x1f(x2).
因为f(x)=√(1+x^2)-x=1/(√(1+x^2)+x),
f(x2)-f(x1)=1/(√(1+x2^2)+x2)-1/(√(1+x1^2)+x1)
=[(√(1+x1^2)+x1)-(√(1+x2^2)+x2)]/[√(1+x2^2)+x2)*(√(1+x1^2)+x1)];x09①
由前面所证的命题知,①式分母为正.现证分子为负.
[√(1+x1^2)+x1)-(√(1+x2^2)+x2)]=(x1-x2)+[√(1+x1^2)-√(1+x2^2)]
=(x1-x2)+[(1+x1^2)-(1+x2^2)]/[√(1+x1^2)+√(1+x2^2)]
=(x1-x2)+[x1^2-x2^2]/[√(1+x1^2)+√(1+x2^2)]
=(x1-x2)+(x1+x2)*(x1-x2)/[√(1+x1^2)+√(1+x2^2)]
=(x1-x2)*{1+(x1+x2)/[√(1+x1^2)+√(1+x2^2)]}
=(x1-x2)*[√(1+x1^2)+√(1+x2^2)+(x1+x2)]/[√(1+x1^2)+√(1+x2^2)]
=(x1-x2)*{[√(1+x1^2)+x1]+[√(1+x2^2)+x2]}/[√(1+x1^2)+√(1+x2^2)];
因为(x1-x2)0,[√(1+x2^2)+x2]>0,√(1+x1^2)>0,√(1+x2^2)>0,
所以,(x1-x2)*{[√(1+x1^2)+x1]+[√(1+x2^2)+x2]}/[√(1+x1^2)+√(1+x2^2)]

证明
定义域 R
设 x1则 f(x1)-f(x2)
=根号 （1+x1^2）-x1 -[根号(1+x2^2)-x2]
= 根号 （1+x1^2）-根号(1+x2^2)-(x1-x2)
根据某不等式，
得 f(x1)-f(x2）>0在R上恒成立
所以f(x)在R上单调递减