如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A的半径为3，A点的坐标为（2，0），C、E分别是⊙A与y轴、x轴的交点，过C点作⊙A

（1）连接AC，由直线BC为圆A的切线，得到CA⊥CB，
又∵⊙A的半径为3，
∴AC=3，
又∵A点的坐标为（2，0），即OA=2，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：OC=
AC 2 - OA 2 =
5 ，
∴点C坐标为（0，
5 ），
又∠OCB+∠OCA=90°，∠OCA+∠OAC=90°，
∴∠OCB=∠OAC，又∠COB=∠AOC=90°，
∴△BOC ∽ △COA，
∴
BO
OC =
OC
OA ，又OC=
5 ，OA=2，
∴BO=
5
2 ，即B（-
5
2 ，0），
设直线BC的方程为y=kx+b，
把B和C的坐标代入得：

b=
5
-
5
2 k+b=0 ，
解得：k=
2
5
5 ，b=
5 ，
则直线BC的方程为y=
2
5
5 x+
5 ；

（2）抛物线y=ax ² +bx+c经过B、A两点，且顶点在直线BC上，
∵A（2，0），B（-
5
2 ，0），
∴
2-
5
2
2 =-
1
4 ，
∴对称轴为直线x=-
1
4 ，即顶点横坐标为-
1
4 ，
把x=-
1
4 代入y=
2
5
5 x+
5 得：y=
9
5
10 ，
则此抛物线的顶点的坐标为（-
1
4 ，
9
5
10 ）；

（3）x轴上存在一点P，使△PCE和△CBE相似，理由如下：
∵AE=3，OA=2，
∴OE=1，
在Rt△OCE中，根据勾股定理得：CE=
OC 2 + OE 2 =
6 ，
∵OB=
5
2 ，OE=1，
∴BE=1.5，
假设存在这样的点P，
当点P在点B左侧时，如图所示：

若△BCE ∽ △CPE，则有
CE
PE =
BE
CE ，
即

6
PE =
1.5

6 ，
解得：PE=4，
则点P的坐标为（-5，0）；
当点P在点B右侧时，要使△CBE ∽ △PCE，则有∠BEC=∠CEP，
∴∠BEC=∠CEP=90°，与题设矛盾，
∴不存在这样的P满足题意，
综上，满足题意的P点有1个，P的坐标为（-5，0）．

1年前