设函数f(x)＝2xx2+1，g(x)＝x3−3ax+78，若对于任意x1∈[−12，12]，总存在x2∈[−12，12

解题思路：此题考查的是函数的值域的问题．在解答时可以先利用f（x）的条件转化出在[−

1

2

，

1

2

]上的值域，然后结合函数g（x）的性质找出函数g（x）在[−

1

2

，

1

2

]对应的范围，从而获的a的关系式，找出a的最小值．

由题意可知：f′(x)＝
2−2x2
(x2+1)2，令导数大于0，可解得-1＜x＜1，所以函数f(x)＝
2x
x2+1在[−
1
2，
1
2]上是增函数
∴f(x)∈[−
4
5，
4
5]，
又∵g(x)＝x3−3ax+
7
8，
∴g′（x）=3x²-3a，当a是正整数时，令g′（x）=3x²-3a≥0得x≥a，或x≤-a，故函数在[−
1
2，
1
2]是减函数，
所以g(x)＝x3−3ax+
7
8∈[1-[3/2a，
3
4+
3
2a]
又对于任意x₁∈[−
1
2，
1
2]，总存在x₂∈[−
1
2，
1
2]，使得g（x₂）=f（x₁）成立．
∴[−
4
5，
4
5]⊆[1-
3
2a，
3
4+
3
2a]即
3
4+
3
2a≥
4
5且−
4
5≥1−
3
2a同时成立，解得a≥
6
5]
所以正整数a的最小值为2．
故答案为：2．

点评：
本题考点： 函数的值域．

考点点评： 此题考查的是函数的值域的问题．在解答的过程当中充分体现了数形结合的思想、恒成立的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．