（2010•顺义区）如图，已知正方形纸片ABCD的边长为2，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D
（2010•顺义区）如图，已知正方形纸片ABCD的边长为2，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P
与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．
（1）观察操作结果，找到一个与△EDP相似的三角形，并证明你的结论；
（2）当点P位于CD中点时，你找到的三角形与△EDP周长的比是多少？
与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．（1）观察操作结果，找到一个与△EDP相似的三角形，并证明你的结论；
（2）当点P位于CD中点时，你找到的三角形与△EDP周长的比是多少？
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解题思路：（1）根据题意，∠EPG=90°，可得∠EPD+∠CPG=90°，又∠EPD+∠PED=90°，所以∠CPG=∠PED．加上∠C=∠D，可得△EDP∽△PCG；
（2）根据相似三角形性质求解．因为CP=1，所以需求对应边DE的长度．设DE=x，则AE=EP=2-x，根据勾股定理可求．
（2）根据相似三角形性质求解．因为CP=1，所以需求对应边DE的长度．设DE=x，则AE=EP=2-x，根据勾股定理可求．
（1）与△EDP相似的三角形是△PCG．（1分）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=∠D=90°．
由折叠知∠EPQ=∠A=90°．
∴∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°．
∴∠2=∠3．
∴△PCG∽△EDP． （2分）
（2）设ED=x，则AE=2-x，
由折叠可知：EP=AE=2-x．
∵点P是CD中点，
∴DP=1．
∵∠D=90°，
∴ED2+DP2=EP2，
即x2+12=（2-x）2
解得x＝
3
4．
∴ED＝
3
4． （3分）
∵△PCG∽△EDP，
∴[PC/ED＝
1
3
4＝
4
3]．
∴△PCG与△EDP周长的比为4：3． （4分）
点评：
本题考点： 翻折变换（折叠问题）；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
考点点评： 此题考查了相似三角形的判定和性质，涉及折叠问题、勾股定理等知识点，综合性较强，难度偏上．
1年前
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