设S n 为数列{a n }的前n项和，对任意的n∈N * ，都有S n =（m+1）-ma n （m为常数，且m＞0）

（1）证明：当n=1时，a ₁ =S ₁ =（m+1）-ma ₁ ，解得a ₁ =1．
当n≥2时，a _n =S _n -S _n-1 =ma _n-1 -ma _n ．
即（1+m）a _n =ma _n-1 ．
∵m为常数，且m＞0，∴
a n
a n-1 =
m
1+m （n≥2）
∴数列{a _n }是首项为1，公比为
m
1+m 的等比数列．
（2）由（1）得，q=f（m）=
m
1+m ，b ₁ =2a ₁ =2．
∵ b n =f( b n-1 )=
b n-1
1+ b n-1 ，
∴
1
b n =
1
b n-1 +1 ，即
1
b n -
1
b n-1 =1 （n≥2）．
∴ {
1
b n } 是首项为
1
2 ，公差为1的等差数列．
∴
1
b n =
1
2 +(n-1)•1=
2n-1
2 ，即 b n =
2
2n-1 （n∈N ^* ）．
（3）证明：由（2）知 b n =
2
2n-1 ，则 b n 2 =
4
(2n-1) 2 ．
所以T _n =b ₁ ² +b ₂ ² +b ₃ ² ++b _n ² = 4+
4
9 +
4
25 ++
4
(2n-1) 2 ，
当n≥2时，
4
(2n-1) 2 ＜
4
2n(2n-2) =
1
n-1 -
1
n ，
所以 T n =4+
4
9 +
4
25 ++
4
(2n-1) 2 ＜4+
4
9 +(
1
2 -
1
3 )+(
1
3 -
1
4 )++(
1
n-1 -
1
n ) =
40
9 +
1
2 -
1
n ＜
89
18 ．