已知函数f(x)＝13x3−x+13

解题思路：（Ⅰ）求函数f（x）的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可求出函数的单调区间；
（Ⅱ）求函数F（x）的导数，根据函数的最值和导数之间的关系，即可得到结论．

（Ⅰ）∵f(x)＝
1
3x3−x+
1
3，
∴f′（x）=x²-1，
由f′（x）=x²-1＞0，解得x＞1或x＜-1，
由f′（x）=x²-1＜0，解得-1＜x＜1，
即函数f（x）的单调增区间为（1，+∞），（-∞，-1），单调递减区间为（-1，1）；
（Ⅱ）∵g(x)＝−
a+1
2x2+(a+1)x(a＞0)，
∴F（x）=f（x）+g（x）=[1/3x3−x+
1
3]−
a+1
2x2+(a+1)x=[1/3x3−
a+1
2•x2+ax+
1
3]，
则F′（x）=x²-1-（a+1）x+a+1=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），
若0＜a＜1，
由F′（x）＞0，解得x＞1或x＜a，此时函数单调递增，
由F′（x）＜0，解得a＜x＜1，此时函数单调递减，
∵F（x）在[0，2]上有最大值 1，F（2）=1，
∴F（a）≤1，即a³-3a²+4≥0，
令g（a）=a³-3a²+4，则g′（a）=3a²-6a=3a（a-2），
∴g′（a）＜0，
∴g（a）＞g（1）=0，即0＜a＜1；
当a=1时，F′（x）=x²-2x+1=（x-1）²≥0，F（x）≤F（2）=1成立；
当1＜a＜2时，令F′（x）＞0得0＜x＜1或a＜x＜2，
令F′（x）＜0得1＜x＜a，F（2）=1，
∵F（x）在[0，2]上有最大值 1，∴F（1）≤1，即 [1/3−
a+1
2+a+
1
3≤1，解得a≤
5
3]，
∴1＜a≤[5/3]，
当a≥2时，由F（x）的单调性知F（x）_max=F（1）＞F（2），故不成立；
综上，实数a的范围是0＜a≤[5/3]．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题主要考查函数的单调性，最值和导数之间的关系，考查学生的运算能力，综合性较强运算量较大．