已知函数f(x)＝−13x3+x2+3x+a．

解题思路：（1）先求导函数，利用导数小于0，解不等式可求f（x）的单调减区间；
（2）由（1）可知函数的极值点，从而确定函数f（x）在区间[-3，4]上的单调性，将极小值与函数的端点函数值比较，即可求出f（x）在[-3，4]上的最小值，由此可求a的值．

（1）∵f′（x）=-x²+2x+3，令f′（x）＜0，则-x²+2x+3＜0．
解得：x＜-1或x＞3．∴函数f（x）的单调减区间为（-∞，-1）和（3，+∞）．…（6分）
（2）列表如下：

x -3 （-3，-1） -1 （-1，3） 3 （3，4） 4
f′（x） - 0 + 0 -
f（x） ∴f（x）在（-3，-1）和（3，4）上分别是减函数，在（-1，3）上是增函数．…（8分）
又∵f(−1)＝a−
5
3，f(4)＝a+
20
3，
∴f（-1）＜f（4）．…（12分）
∴f（-1）是f（x）在[-3，4]上的最小值．
∴a−
5
3＝
7
3．解得a=4．…（14分）

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的单调性及函数的最值，关键是利用导数小于0，求函数的单调减区间，掌握利用导数求函数最值的方法．