（2013•浙江模拟）已知函数f(x)＝13x3−ax+1．

解题思路：（Ⅰ）由已知当x=1时，f（x）取得极值，所以必有f^′（1）=0，据此可求出a的值，再验证a的值是否满足取得的极值条件即可．
（Ⅱ）先对函数f（x）求导得f^′（x），需要对a进行分类讨论，看其在区间（0，1）或其子区间上f^′（x）与0进行比较，可得到其单调性，进而求出其最小值．
（Ⅲ）因为∀m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，所以f'（x）=x²-a≠-1对x∈R成立，进而求出a的取值范围即可．

（I）∵f'（x）=x²-a，
当x=1时，f（x）取得极值，∴f'（1）=1-a=0，a=1．
又当x∈（-1，1）时，f'（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，
∴f（x）在x=1处取得极小值，即a=1符合题意
（II） 当a≤0时，f'（x）＞0对x∈（0，1]成立，
∴f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）在x=0处取最小值f（0）=1．
当a＞0时，令f'（x）=x²-a=0，x1＝−
a，x2＝
a，
当0＜a＜1时，
a＜1，当x∈(0，
a)时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈(
a，1)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
所以f（x）在x＝
a处取得最小值f(
a)＝1−
2a

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 深刻理解导数的几何意义及熟练利用导数求极值、最值是解题的关键．分类讨论思想和转化思想是解题常用的思想方法，应熟练掌握．