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(1)设AC中点G、BC中点H,连接MG、PG;NH,PH.
由中位线定理,得MG∥AD,MG=[1/2]AD;
PG∥BC,PG=[1/2]BC;
PH∥AC,PH=[1/2]AC;
HN∥BE,HN=[1/2]BE.
∵△ACD和△BCE都是等边三角形,
∴AD=AC,BC=BE,
∠MGC=∠DAC=60°,∠CGP=∠ECB=60°,∠PHC=∠ACD=60°,∠CHN=∠CBE=60°.
在△MGP与△PHN中,
MG=PH
∠MGP=∠PHN=120°
GP=HN,
∴△MGP≌△PHN(SAS),
∴∠MPG=∠PNH.
∵∠PNH+∠NPH=180°-∠PHN=60°,
∴∠MPG+∠NPH=60°.
∠2+∠3=∠1+∠ABC=180°-∠ACB=60°,
∴∠MPN=180°-(∠MPG+∠NPH)-(∠2+∠3)=60°.
故∠MPN的度数为 60;
(2)∠MPN的度数不变,仍是60°,理由如下:
证明:取AC、BC的中点分别为F,G,
连接MF、FP、PG、GN,
∵MF是等边三角形ACD的中位线,
∴MF=[1/2]AD=[1/2]AC,MF∥AD,
∵PG是△ABC的中位线,
∴PG=[1/2]AC,PG∥AC,
∴MF=PG,
同理:FP=CG,
∴四边形CFPG是平行四边形,
∴∠CFP=∠CGP,
∴∠MFC+∠CFP=∠CGN+∠CGP,
即∠MFP=∠PGN,
∴△MFP≌△PGN(SAS),
∴∠FMP=∠GPN,
∵PG∥AC,
∴∠1=∠2,
在△MFP中,∠MFC+∠CFP+∠FMP+∠FPM=180°,
又∵∠MFC=60°,
∴∠CFP+∠FMP+∠FPM=120°,
∵∠CFP=∠1+∠3,
∴∠1+∠3+∠FMP+∠FPM=120°,
∵∠1=∠2,∠FMP=∠GPN,
∴∠2+∠3+∠GPN+∠FPM=120°,
又∵∠3+∠FPM+∠MPN+∠GPN+∠2=180°,
∴∠MPN=60°.
1年前
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